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为什么满秩就线性无关
对于n个n维向量，如果向量组的秩等于向量组个数，那么向量组就是满秩的，其行列式不等于0。即每个向量都不能由别的向量线性表示，向量组就是线性无关的。
题意是解的个数就是2，也就是线性无关的特征相量有2个，那么矩阵的秩为1。2重特征根的原因：只有一个线性无关的解，那么秩就为3-1=2，这里3是A的阶数，1是1个线性无关解，则有2重特征根。
线性无关和秩的关系是：如果一个矩阵行向量线性无关，那么这个矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数或者列数，对于一个向量组来说，向量组线性无关的充分必要条件是这个向量组的秩等于向量个数。
即 $A$ 的列向量不构成 $\boldsymbol{0}$ 的一个非平凡线性组合，这与 $A$ 的列向量线性无关的定义相矛盾。因此，对于列满秩矩阵 $A$，$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 没有非零解，即只有零解。
什么是秩?什么是满秩?
就是线性无关的，满秩的，秩为n. 1个非零向量，可以表示1维线性空间，所以秩为1，满秩。注意，向量组所对应的矩阵不一定是方阵，所以这里的满秩指的是秩等于向量的个数。
若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。
秩满zhì mǎn 释义：官吏任期届满。例句：《南史虞寄传》：「前后所居官，未尝至秩满，裁期月，便自求解退。」满秩是什么意思 满秩(满秩)(1).全俸。
怎么判断矩阵满秩呢?
快速看出矩阵的秩的方法如下：观察矩阵的形态：矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩。因此，可以通过观察矩阵的形态来初步判断其秩。如果矩阵中有一些行或列明显线性相关，那么其秩可能会比较小。
如果A的行向量线性无关或者xA=0只有零解，那么A就是行满秩矩阵，此时的列数一定不小于行数。
矩阵可逆条件：AB=BA=E。矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。
在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的（或可观察的）。
小伙伴们，上文介绍满秩的内容，你了解清楚吗？希望对你有所帮助，任何问题可以给我留言，让我们下期再见吧。
